الرياضيات هى المعنى التجريدى للواقع ويمكنك عن طريقها فهم الواقع بل والكون أيضاً الذى نعيش فيه.....
فهى اللغة الساحرة التى كتب بها الكون كما يعتقد علماء الرياضيات.. الرياضيات هى أصلب العلوم وهى اللغة التى تساعد بقية العلوم فى التعبير عن مكنونها ورؤاها.......
ولكن هل يوجد فى الرياضيات ذلك الفاصل والحاجز بين التجريد والواقع.. والمقصود أن هناك معادلات كثيرة فى الرياضيات وأيضاً مبرهنات وحدسيات ونظريات وغيرها..كل هذا للتأكد من صحته يجب أن يكون هناك برهان عليه...فالمبرهنات والنظريات والحدسيات هناك برهان لإثبات كلا منهم وذلك للتأكد من صحتهم...........
مثلا نظرية فيثاغورث فى الهندسة التى درسناها فى المدرسة ...والتى تنص على أن مربع طول الوتر فى المثلث القائم الزاوية يساوى مجموع مربع طول الضلعين الآخرين...هناك برهان مثالى أنيق على تلك النظرية...مما يؤكد صحتها... أيضاً مبرهنة فيرما الأخيرة اثبتها عالم الرياضيات البريطانى اندرو ويلز باثبات مثالى وانيق....وحدسية بوانكارية وهى من مسائل الألفية وضع لها البرهان الأنيق عالم الرياضيات الروسى جريجورى بيرلمان.......
وهكذا دواليك..يجب لإثبات صحة المبرهنات والنظريات والحدسيات أن يكون لدينا برهان يثبت صحتها..............
ولكن البديهيات axioms ليس مشروطا أن يكون لدينا برهان يثبت صحتها فبالمنطق هى صحيحة حيث عندما أقول إن احمد اكبر من محمد ومحمد اكبر من محمود فمن البديهي أن احمد اكبر من محمود...لا احتاج الى برهان لإثبات صحة ذلك فالمنطق يقول ذلك..............
ولكن هل يمكن أن يكون ما وراء ذلك مختلف تماماً...حيث أن من الممكن أن يكون هناك نظريات ومبرهنات وحدسيات صحيحة ولكن لا يوجد برهان لإثبات صحتها .. وبالعكس أيضاً هل يمكن أن تكون هناك نظريات ومبرهنات وحدسيات خاطئة ويوجد برهان لإثبات صحتها............
وهذه ياعزيزى القارئ هى مبرهنات عدم الاكتمال لجودل....والتى وضعها عالم الرياضيات كيرت جودل فى عام 1931م حيث تنص على أن:
١-هناك قواعد صحيحة لكن لايوجد برهان أو إثبات على صحتها.
٢-هناك نظريات صحيحة لكن لايوجد برهان أو إثبات على صحتها.
ونعبر عن ذلك بالصيغة الرياضية التالية:
C(A)=Ā
حيث ان Āهى النتيجة المعاكسة لAوAهى نتيجة البرهان و (C(Aهى مراحل البرهان......
وهذا يوضح نص المبرهنات الخاصة بجودل حيث أن القواعد الصحيحة ليس لها برهان يؤكد صحتها وعلى العكس القواعد الخاطئة لها برهان يثبتها.........
وهذا يوضح مدى غرابة مبرهنات عدم الاكتمال لجودل..وغرابة الطرح الذى نطرحه هنا فى هذه المقالة...حيث أن الرياضيات لاتزال وستستمر فى ابهارنا وان تورث لدينا الذهول المطلق حيث أن هذا الطرح يحيلنا إلى مصطلحات آخرى في ما وراء الرياضيات ...مثل الرياضيات المحرمة وغيرها............
نستخلص من كل هذا أن القواعد الصحيحة التى تعودنا عليها يمكن أن لايكون لها برهان مثالى وبالعكس القواعد التى نعتبرها خاطئة ونرفضها يمكن أن يكون هناك إثبات لها...وهذا ما توضحه مبرهنات عدم الاكتمال لجودل فى واحدة من أغرب المبرهنات فى تاريخ الرياضيات..ذلك العلم الواسع والصرح العظيم بحدسياته ونظرياته ومسلماته ومبرهناته وتجريده المعقد والبسيط................
